Resolucion de sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden

Este tema está dedicado a la discusión de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias simultáneas. Dichos sistemas aparecen en problemas que tienen relación con varias variables dependientes que son función de la misma variable independiente.
Por ejemplo, las leyes de Newton.

donde m es la masa de la partícula, (x₁, x₂, x₃) son sus coordenadas espaciales y F₁, F₂, F₃ las componentes de la fuerza actuante sobre la partícula en dicha posición, que pueden ser función de la posición, de la velocidad y del tiempo.
Hay una importante conexión entre los sistemas de ecuaciones y las ecuaciones de orden arbitrario. De hecho una ecuación de orden n

(1)

puede ser reducida a un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden con una forma bastante particular. Para verlo se va a efectuar los siguientes cambios de variables, llamando

...

Entonces se puede reescribir (1) como

...

que es un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden.
En el caso más general un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden tiene tiene la forma:

...

Antes de proseguir será necesario establecer en qué caso hay solución del sistema y si ésta es única. Para ello, se enuncia el siguiente teorema:
Teorema
Sean continuas en una región R del espacio (n+1) dimensional  las funciones

y tal que dicha región contiene el punto . Entonces existe un intervalo  en el que hay solución única de la forma:

...

del sistema de ecuaciones diferenciales que satisface la condición

...

Nota.- Es importante saber que este teorema da las condiciones suficientes para que haya solución, sin embargo, no establece las necesarias. Es decir, las condiciones son muy restrictivas y puede encontrarse un sistema que sin cumplirlas totalmente tenga solución única.
Los sistemas se clasifican como las ecuaciones ordinarias. Pueden ser lineales y no lineales. Si las funciones  tienen la forma

el sistema se dice lineal. Si no, es no lineal. Si  es cero en todas y cada una de las ecuaciones, el sistema se dice homogéneo; en caso contrario, no homogéneo.
Para los sistemas lineales el teorema de existencia y unicidad de solución es más simple y con una conclusión más amplia. Es un teorema de existencia de solución global, como en el caso de las ecuaciones diferenciales ordinarias.
Si las funciones  y  son continuas en el intervalo abierto

a < t < b

que contiene al punto , entonces existe una única solución al sistema de la forma:

...

que satisface las condiciones de valor inicial

...

Obsérvese que la existencia y unicidad de la solución del sistema está asegurada en todo el intervalo en que las funciones p_ij(t) y q_i(t) son continuas a diferencia de los sistemas no-lineales en los que la existencia y unicidad quedaba consignada en un subintervalo incluido en el de continuidad de las funciones.

TEORIA BASICA DE LOS SISTEMAS LINEALES DE ECUACIONES DE PRIMER ORDEN
Sea un sistema de n ecuaciones diferenciales lineales de 1^er orden

...

Utilizando notación matricial el sistema se puede escribir

donde

y su derivada

y

Esta notación, además de simplificar la escritura, enfatiza el paralelismo entre los sistemas y las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.
Se dice que un vector x = {f (t)} es solución del sistema si sus componentes satisfacen todas las ecuaciones del sistema.
Supóngase que P y q son continuos en un intervalo a < t < b . En primer lugar, se estudia la ecuación homogénea

(1)

Una vez que esta ecuación esté resuelta se resolverá la no-homogénea.
Sean

soluciones específicas de la ecuación homogénea.
Teorema 1
Si  y  son soluciones del sistema (1), entonces

es solución también, donde  y  son constantes arbitrarias.
Este es el principio de superposición y se comprueba sin más que diferenciar la solución propuesta y sustituirla en (1)

Aparentemente se pueden encontrar infinitas soluciones, por ello se debe cuestionar acerca del número mínimo de soluciones independientes que generan todas y cada una de las soluciones del sistema.
Por similitud a los temas previos se puede afirmar que habrá n. Sean ,, ......,. Considérese la matriz formada por estos vectores columna -cada columna es uno de estos vectores-

Estas soluciones serán linealmente independientes en cada punto t del intervalo a < t < b si y sólo si el determinante es distinto de cero en ese punto. Al determinante de X se le llama wronskiano de las n soluciones.
Teorema 2
Si las funciones vectoriales ,, ......, son soluciones linealmente independientes del sistema (1) en cada punto de a < t < b entonces la solución del sistema {f (t)} puede ser expresada como una combinación lineal de ,, ......,.

Para demostrarlo véase que con sólo elegir adecuadamente los valores de las constantes se puede obtener la solución {f (t)} que cumpla unas determinadas condiciones de contorno en un punto  del intervalo

a < t < b

Sean estas condiciones

siendo

Si

Sustituyendo el valor  se obtienen n ecuaciones algebraicas de la forma:

Este sistema tiene solución para las incógnitas , , ........,  si el determinante de los coeficientes es distinto de cero. Como el wronskiano es distinto de cero -las funciones son independientes- en el intervalo a < t < b , el determinante es distinto de cero. Por consiguiente hay una única solución del sistema y

Llamando W(t) al wronskiano. Dicha función verifica la ecuación diferencial.

que se conoce con el nombre de fórmula de Abel.
Como

Derivando

pero

o empleando el convenio de Einstein de suma en índices repetidos:

Por tanto

Por consiguiente se llega a que

Integrando se obtiene que

siendo K una constante de integración.
Una vez realizada este cálculo se puede estudiar otro teorema.
Teorema 3
Si ,, ......, son soluciones de

en el intervalo a < t < b entonces en este intervalo el wronskiano o es cero o nunca es cero.
La demostración surge como una consecuencia de la fórmula de Abel. Si las funciones  son continuas en (a ,b ) la traza de la matriz P(t) es una función continua y por consiguiente la función exponencial no se anula para valores de x pertenecientes al intervalo (a ,b ). El único valor que puede ser cero es la constante K. Si lo es, el wronskiano es cero para cualquier valor de x; en caso contrario, nunca se anula.
Teorema 4
Si se llama

 ,  , ... , 

y las soluciones ,, ......, son tales que

donde t es cualquier punto en a < t < b , entonces ,, ......, son conocidas como soluciones fundamentales y cualquier solución del sistema se puede expresar como una combinación lineal de estas soluciones fundamentales.
La demostración es una consecuencia de lo visto en teoremas anteriores. Estas soluciones fundamentales son linealmente independientes, ya que en un punto del intervalo su wronskiano es distinto de cero; en concreto, vale uno. Al ser un conjunto de n soluciones linealmente independientes constituye un conjunto generador de soluciones.