Regla de Simpson

Una forma evidente de mejorar la aproximación de una integral es con una mejor aproximación para el integrando ƒ(x). Esto se puede lograr con un polinomio de grado 2. Ver figura 4.4

Considérese la función ƒ(x) en el intervalo [a, b] y x₀ = a, x₁ = x₀ + h, x₂ = b, donde.

Con los puntos (x₀, ƒ(x₀)), (x₁, ƒ(x₁)) y (x₂, ƒ(x₂)) se construye el polinomio de Lagrange de grado 2,

ahora  La integral del polinomio se resuelve por partes y resulta:

reemplazando x₁ = x₀ + h, x₂ = x₀ + 2h resulta:

Luego ,

Por lo tanto.

   

Esta expresión se conoce como regla de simpson.
El error en la aproximación es 

Ejemplo.

Aproximar  usando:
i) La regla del trapecio
ii) La regla de Simpson
Encuentre también una cota para el error en cada aproximación.

Solución:

i) Para la regla del trapecio.entonces

ii) Para la regla de Simpson 
, a = x₀ = 0, b = x₂ = 2, x₁ = x₀ + h = 1

El valor real de la integral es 

Observaciones

 La regla del trapecio es exacta para funciones lineales (f(x) = mx + c)   ya que el término de error contiene f''(z) y este caso f''(x) = 0   y el error sería cero.

 La regla de Simpson es exacta para funciones polinómicas de grado menor o igual a 3, ya que el error contiene  y la cuarta derivada de un polinomio de grado menor o igual que 3 es cero.

Una manera de mejorar la aproximación de una integral definida de una función fen un intervalo [a,b], consiste en dividir el intervalo [a,b] en varios subintervalos y aplicar en cada subintervalo la regla del trapecio o la regla de Simpson. Estos métodos se conocen como regla compuesta o extendida del trapecio y de Simpson respectivamente.