establece que un polinomio en una variable, no constante y con coeficientes complejos, tiene tantas raíces como indica su , contando las raíces con sus multiplicidades. en otras palabras, dado un polinomio complejo de grado , la ecuación tiene exactamente soluciones complejas, contando multiplicidades. de manera equivalente:
- El de los complejos es cerrado las algebraicas.
- polinomio complejo de grado n se puede expresar como un de n polinomios de la forma .
el teorema se establece comúnmente de la siguiente manera:
todo polinomio en una variable de grado n ≥ 1 con coeficientes reales o complejos tiene por lo menos una raíz (real o compleja).
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aunque ésta en principio parece ser una declaración más débil, implica fácilmente la forma completa por la polinómica sucesiva por factores lineales.
el nombre del teorema es considerado ahora un error por muchos matemáticos, puesto que es más un teorema del matemático que del álgebra.
demostración
sea un polinomio de grado . es una función . para cada constante positiva , existe un número real positivo tal que
si no tiene raíces, la función , es una función entera con la propiedad de que para cualquier número real mayor que cero, existe un número positvo tal que
concluimos que la función es acotada. pero el teorema de liouville dice que si es una función entera y acotada, entonces, es constante y esto es una contradicción.
de manera que no es entera y por tanto tiene al menos una raíz. se puede escribir por tanto como el producto
donde es una raíz de y es un polinomio de grado . por el argumento anterior, el polinomio a su vez tiene al menos una raíz y se lo puede factorizar nuevamente.
repitiendo este proceso veces, concluimos que el polinomio p puede escribirse como el producto
donde ... son las raíces de (no necesariamente distintas) y es una constante.
corolarios
como el teorema fundamental del álgebra puede ser visto como la declaración de que el cuerpo de los números complejos es algebraicamente cerrado, se sigue que cualquier teorema concerniente a algebraicamente aplican al cuerpo de los números complejos. se muestran aquí algunas consecuencias del teorema, acerca del cuerpo de los números reales o acerca de las relaciones entre el cuerpo de los reales y el cuerpo de los complejos:
- El cuerpo de los números complejos es la clausura algebraica del cuerpo de números reales.
- Todo polinomio en una variable con coeficientes reales es el producto de un polinomio constante de la forma con real, y polinomios de la forma con y reales y (que es lo mismo que decir que el polinomio no tiene raíces reales).
- Toda función racional en una variable , con coeficientes reales, se puede escribir como la suma de una función polinómica con funciones racionales de la forma (donde es un número natural, y y son números reales), y funciones racionales de la forma (donde es un número natural, y , , , y son números reales tales que ). Un corolario de esto es que toda función racional en una variable y coeficientes reales tiene una primitiva elemental.
- Toda extensión algebraica del cuerpo de los reales es isomorfa al cuerpo de los reales o al cuerpo de los complejos.
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