Biseccion

El método de la bisección o también llamado Método de Bolzano, parte de una funcion F(x) y un intervalo [x1,x2] tal que F(x1) y F(x2) tienen signos contrarios. Si la función es continua en este intervalo, entonces existe una raíz de F(x) entre x1 y x2.
  Una vez determinado el intervalo [x1,x2] y asegura lacontinuidad de la función en dicho intervalo, se valúa ésta en el punto madion xm del intervalo, como se ve:

Si F(xm) y F(x1) tiene signos contrarios, se reducirá el intervalo de x1 a xm, ya que dentro de estos valores se encuentra la raíz buscada. Al repetir este proceso, hasta lograr que la diferencia entre los dos últimos valores de xm sea menor que una tolerancia prefijada, el último valor xm será una buena aproximación de la raíz.

Pasos:

1. Elija valores iniciales inferior x1, y superior de x2, que encierren a la raíz, de forma que la función cambien el signo en el intervalo. Esto se verifica comprobando que f(x1) f(x2)<0
2. Una aproximación de la raíz, se determina mediante: Xr= x1 + x2 / 2
3. Realice las siguiente evaluaciones para determinar en que subintervlo ésta la raíz:

• Si f(x1) f(Xr)<0, entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalo inferior o izquierdo. Por tanto, haga X2 = Xr y vuelva al paso 2.
• Si f(x1) f(Xr)>0, entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalo superior o derecho. Por tanto, haga X1 = Xr y vuelva al paso 2.
• Si f(x1) f(Xr) =0, entonces la raíz se igual a Xr; y termina el cálculo.

Método de la Falsa Posición

Aun cuando la bisección es una técnica perfectamente válida para determinar raíces, su método de aproximación por "fuerza bruta" es relativamente ineficiente. La falsa posición es una alternativa basada en una visualización gráfica.

Un inconveniente del método de bisección es que al dividir el intervalo de x1 a xu en mitades iguales, no se toman en cuenta las magnitudes de f(x1) y f(xu). Por ejemplo, si f(x1) está mucho más cercana a cero quef(xu), es lógico que la raíz se encuentre más cerca de x1 que de xu. Un método alternaticvo que aprovecha esta visualización gráfica consiste en unir f(x1) y f(xu) con una línea recta. La intersección de esta línea con el eje de las x representa un mejor aproximación de la raíz. El hecho de que se reemplace la curva por una línea recta de una "falsa posición" de la raíz; de aquí el nombre de método de la falsa posición, o en latín,regula falsi. También se le conoce como método de interpolación lineal.

Usando triángulos semejantes, la intersección de la línea recta con el eje de las x se estima mediante:

Multiplicando en cruz la ecuación anterior obtenemos:

Agrupando términos y reordenando:

Dividiendo entre 

[img border="0" height="61" src="http://illuminatus.bizhat.com/metodos/index_archivos/image010.gif" width="201" >

Esta es una de las formas del método de la falsa posición. Esta puede ponerse en una forma alternativa al separa los términos:

sumando y restando xu en el lado derecho:

Agrupando términos se obtiene:

o:

Esta es la fórmula de la falsa posición. El valor de xr calculado con la ecuación reemplazará, después, a cualquiera de los dos valores iniciales, xl o xu, y da un valor de la función con el mismo signo de f(xr). De esta manera, los valores xl y xu siempre encierran la verdadera raíz. El proceso se repite hasta que la aproximación a la raíz sea adecuada.

PDF Biseccion