Cuadratura de Gauss

Una característica de las fórmulas de Newton - Cotes es que la estimación de la integral se basa en valores igualmente espaciados de la función. Por ejemplo, como se puede observar en la Figura 1, la regla del trapecio se basa en obtener el área bajo la línea recta que une los valores de la función, en los extremos del intervalo de integración. Debido a que la regla del trapecio necesita los puntos extremos, existen casos como el de la Figura 1, donde la fórmula puede dar un error importante. Por esa razón, se supondrá que se elimina la restricción de que los puntos estén igualmente espaciados y que es posible evaluar el área bajo una línea recta que une dos puntos cualesquiera de la curva. Al ubicar esos puntos en forma conveniente, es posible definir una línea recta que equilibre los errores negativos y positivos. De esta manera, como se muestra en la Figura 2, se obtiene una mejor estimación de la integral. Las cuadraturas de Gauss - Legendre es el nombre de una clase de técnicas que aplica tal estrategia para obtener una aproximación más precisa de la integral.  Cuadratura de Gauss - Legendre de dos puntos  El objetivo de la cuadratura de Gauss - Legendre es determinar las abscisas x1 y x2 y dos coeficientes w1 y w2de manera que la fórmula: sea exacta para polinomios cúbicos de la forma f(x) = a3x3 + a2x2 + a1x +a0. Como hay que determinar cuatro números w1, w2, x1 y x2 en la expresión anterior, se deben seleccionar cuatro condiciones que deben cumplirse. Usando el hecho de que la integración es aditiva, será suficiente con exigir que la integral anterior sea exacta para las cuatro funciones f(x) = 1, x, x2, x3. Por lo tanto, las cuatro condiciones de integración son:   De esta manera, el sistema de ecuaciones no lineales que se debe resolver es: La solución del sistema anterior está dada por: Así, se ha encontrado los nodos y los coeficientes o pesos con los que se construye la cuadratura de Gauss - Legendre. En consecuencia, si f es continua en [-1;1], resulta: La cuadratura de Gauss - Legendre con dos nodos G2(f) tiene grado de precisión n=3 y si f Є C4[-1;1], entonces, siendo para algún punto ξ Є [-1;1]. Cuadratura de Gauss - Legendre con más puntos Además de la fórmula de dos puntos descripta en la sección anterior, es posible desarrollar versiones con más puntos en la forma general: donde n es la cantidad de nodos que se toma. Los nodos xn,k y los pesos wn,k que hay que usar, en cada caso, se encuentran tabulados. En la siguiente tabla, se muestran los valores correspondientes para las cuadraturas de Gauss - Legendre con hasta cinco nodos, así como la forma de los términos de error En(f) correspondientes a las aproximaciones: Los nodos que se usan para construir una cuadratura de n puntos son las raíces del polinomio de Legendre de grado n y los pesos, como ya se explicó anteriormente, se obtienen resolviendo un sistema de ecuaciones no lineales. Como se puede observar en la tabla, el término de error de una cuadratura de tres puntos es proporcional a la derivada de orden seis de la función f(x). Esto implica que ese tipo de cuadratura será exacta si el integrando es un polinomio de grado cinco o menor. De mismo modo, una cuadratura de cuatro puntos será exacta si la función a integrar es un polinomio de grado siete o menor. Esto se debe a que su término de error involucra una derivada de orden ocho de la función f(x). En general, una cuadratura de Gauss - Legendre de n puntos será exacta para funciones polinomiales de grado menor o igual que 2n - 1. Traslación de la Cuadratura de Gauss - Legendre Para aplicar la cuadratura de Gauss - Legendre en un intervalo [a;b], se debe efectuar el cambio de variable:   con De esta manera, Por lo tanto, la fórmula de cuadratura está dada por: