Un análisis de la ecuación (6.5) sugiere una posible mejora en el algoritmo de Jacobi. Para calcular 
, se usan las componentes de . Como, para i >1, los anteriores valores , 
, ... , 
ya han sido calculadas y supuestamente son mejores aproximaciones a la solución real que las de la iteración anterior, parece razonable calcular usando los valores calculados más recientemente, es decir,
, se usan las componentes de . Como, para i >1, los anteriores valores , , ... , ya han sido calculadas y supuestamente son mejores aproximaciones a la solución real que las de la iteración anterior, parece razonable calcular usando los valores calculados más recientemente, es decir, = 
(6.10)
para i = 1, 2, ... , n, en vez de la ecuación (6.5).
Esta técnica se llama método iterativo de Gauss-Seidel. Para escribir este método en la forma matricial se multiplican ambos lados de la ecuación (6.10) por 
y se pasan todos los términos de la etapa k-ésima al mismo lado quedando:
y se pasan todos los términos de la etapa k-ésima al mismo lado quedando:
+ 
+ ... + 
= -
- ... - 
+ 
para cada i = 1, 2, ... , n. Escribiendo las n ecuaciones tenemos:
= - 
-
- ... -
+ 
+ 
= -
- ... - 
+ 
. . .
. . .
+ 
+ ... +
= -
+ 
+ 
+ ... +
= 
y por lo tanto, en forma matricial, el método de Gauss-Seidel puede representarse como:
( D - L) 
= U + b,
= U + b,
o bien
= (D – L)-1 U + (D - L)-1 b para k = 1, 2, ... (6.11)
Para que la matriz triangular inferior D - L sea no singular, es necesario y suficiente que 
¹ 0 para cada i = 1, 2, ... , n.
¹ 0 para cada i = 1, 2, ... , n.
Nótese que 
, 
y C = D - L.
, y C = D - L.
Ejemplo 6.2
Dado el sistema
si aplicamos el método de Gauss-Seidel las fórmulas de recurrencia serán:
tomando una tolerancia de 10-3 y comenzando por = (1,1)t si utilizamos los tres criterios de parada descritos, con la ¥ _norma obtenemos:
= (1,1)t si utilizamos los tres criterios de parada descritos, con la ¥ _norma obtenemos:
Iteración
|
x(i)
|
Error Abs.
|
Err. Rel.
|
||Residual||
|
1
|
(1.2000, 0.9143)t
|
0.2000
|
0.1667
|
0.2571
|
2
|
(1.2514, 0.9290)t
|
0.0514
|
0.0411
|
0.0441
|
3
|
(1.2426, 0.9265)t
|
0.0088
|
0.0071
|
0.0076
|
4
|
(1.2441, 0.9269)t
|
0.0015
|
0.0012
|
0.0013
|
5
|
(1.2439, 0.9268)t
|
0.0003
|
0.0002
|
0.0002
|
Los resultados de los ejemplos (6.1) y (6.2) parecen implicar que el método de Gauss-Seidel es superior al método de Jacobi. Este es generalmente el caso, pero no es siempre cierto. Existen sistemas lineales para los que el método de Jacobi converge y el método de Gauss-Seidel no y otros en los que ocurre lo contrario.
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