Cuadratura de Gauss

Una característica de las fórmulas de Newton - Cotes es que la estimación de la integral se basa en valores igualmente espaciados de la función. Por ejemplo, como se puede observar en la Figura 1, la regla del trapecio se basa en obtener el área bajo la línea recta que une los valores de la función, en los extremos del intervalo de integración. Debido a que la regla del trapecio necesita los puntos extremos, existen casos como el de la Figura 1, donde la fórmula puede dar un error importante. Por esa razón, se supondrá que se elimina la restricción de que los puntos estén igualmente espaciados y que es posible evaluar el área bajo una línea recta que une dos puntos cualesquiera de la curva. Al ubicar esos puntos en forma conveniente, es posible definir una línea recta que equilibre los errores negativos y positivos. De esta manera, como se muestra en la Figura 2, se obtiene una mejor estimación de la integral. Las cuadraturas de Gauss - Legendre es el nombre de una clase de técnicas que aplica tal estrategia para obtener una aproximación más precisa de la integral.  Cuadratura de Gauss - Legendre de dos puntos  El objetivo de la cuadratura de Gauss - Legendre es determinar las abscisas x1 y x2 y dos coeficientes w1 y w2de manera que la fórmula: sea exacta para polinomios cúbicos de la forma f(x) = a3x3 + a2x2 + a1x +a0. Como hay que determinar cuatro números w1, w2, x1 y x2 en la expresión anterior, se deben seleccionar cuatro condiciones que deben cumplirse. Usando el hecho de que la integración es aditiva, será suficiente con exigir que la integral anterior sea exacta para las cuatro funciones f(x) = 1, x, x2, x3. Por lo tanto, las cuatro condiciones de integración son:   De esta manera, el sistema de ecuaciones no lineales que se debe resolver es: La solución del sistema anterior está dada por: Así, se ha encontrado los nodos y los coeficientes o pesos con los que se construye la cuadratura de Gauss - Legendre. En consecuencia, si f es continua en [-1;1], resulta: La cuadratura de Gauss - Legendre con dos nodos G2(f) tiene grado de precisión n=3 y si f Є C4[-1;1], entonces, siendo para algún punto ξ Є [-1;1]. Cuadratura de Gauss - Legendre con más puntos Además de la fórmula de dos puntos descripta en la sección anterior, es posible desarrollar versiones con más puntos en la forma general: donde n es la cantidad de nodos que se toma. Los nodos xn,k y los pesos wn,k que hay que usar, en cada caso, se encuentran tabulados. En la siguiente tabla, se muestran los valores correspondientes para las cuadraturas de Gauss - Legendre con hasta cinco nodos, así como la forma de los términos de error En(f) correspondientes a las aproximaciones: Los nodos que se usan para construir una cuadratura de n puntos son las raíces del polinomio de Legendre de grado n y los pesos, como ya se explicó anteriormente, se obtienen resolviendo un sistema de ecuaciones no lineales. Como se puede observar en la tabla, el término de error de una cuadratura de tres puntos es proporcional a la derivada de orden seis de la función f(x). Esto implica que ese tipo de cuadratura será exacta si el integrando es un polinomio de grado cinco o menor. De mismo modo, una cuadratura de cuatro puntos será exacta si la función a integrar es un polinomio de grado siete o menor. Esto se debe a que su término de error involucra una derivada de orden ocho de la función f(x). En general, una cuadratura de Gauss - Legendre de n puntos será exacta para funciones polinomiales de grado menor o igual que 2n - 1. Traslación de la Cuadratura de Gauss - Legendre Para aplicar la cuadratura de Gauss - Legendre en un intervalo [a;b], se debe efectuar el cambio de variable:   con De esta manera, Por lo tanto, la fórmula de cuadratura está dada por:

Regla de Simpson

Una forma evidente de mejorar la aproximación de una integral es con una mejor aproximación para el integrando ƒ(x). Esto se puede lograr con un polinomio de grado 2. Ver figura 4.4

Considérese la función ƒ(x) en el intervalo [a, b] y x₀ = a, x₁ = x₀ + h, x₂ = b, donde.

Con los puntos (x₀, ƒ(x₀)), (x₁, ƒ(x₁)) y (x₂, ƒ(x₂)) se construye el polinomio de Lagrange de grado 2,

ahora  La integral del polinomio se resuelve por partes y resulta:

reemplazando x₁ = x₀ + h, x₂ = x₀ + 2h resulta:

Luego ,

Por lo tanto.

   

Esta expresión se conoce como regla de simpson.
El error en la aproximación es 

Ejemplo.

Aproximar  usando:
i) La regla del trapecio
ii) La regla de Simpson
Encuentre también una cota para el error en cada aproximación.

Solución:

i) Para la regla del trapecio.entonces

ii) Para la regla de Simpson 
, a = x₀ = 0, b = x₂ = 2, x₁ = x₀ + h = 1

El valor real de la integral es 

Observaciones

 La regla del trapecio es exacta para funciones lineales (f(x) = mx + c)   ya que el término de error contiene f''(z) y este caso f''(x) = 0   y el error sería cero.

 La regla de Simpson es exacta para funciones polinómicas de grado menor o igual a 3, ya que el error contiene  y la cuarta derivada de un polinomio de grado menor o igual que 3 es cero.

Una manera de mejorar la aproximación de una integral definida de una función fen un intervalo [a,b], consiste en dividir el intervalo [a,b] en varios subintervalos y aplicar en cada subintervalo la regla del trapecio o la regla de Simpson. Estos métodos se conocen como regla compuesta o extendida del trapecio y de Simpson respectivamente.

Regla de Romberg

            Sea    el valor de la integral que aproxima a  ,   mediante una partición de subintervalos de longitud    y usando la regla del trapecio. Entonces, 

 

donde    es el error de truncamiento que se comete al aplicar la regla. 

         El método de extrapolación de Richardson combina dos aproximaciones de integración numérica, para obtener un tercer valor más exacto.

         El algoritmo más eficiente dentro de éste método, se llama  Integración de Romberg, la cual es una fórmula recursiva.
Supongamos que tenemos dos aproximaciones :     e    

 

Se puede demostrar que el error que se comete con la regla del trapecio para n subintervalos está dado por las siguientes fórmulas: 

 

 

donde   es un promedio de la doble derivada entre ciertos valores que pertenecen a cada uno de los subintervalos.

Ahora bien, si suponemos que el valor de    es constante, entonces : 

 

Sustituyendo esto último en nuestra primera igualdad, tenemos que: 

 

                                                                 

De  aquí podemos despejar  : 

 

 

En el caso especial cuando    (que es el algoritmo de Romberg), tenemos : 

 

  

Esta fórmula es solo una parte del algoritmo de Romberg. Para entender el método, es conveniente pensar que se trabaja en niveles de aproximación. En un primer nivel, es cuando aplicamos la regla del Trapecio, y para poder usar la fórmula anterior, debemos de duplicar cada vez el número de subintervalos: así, podemos comenzar con un subintervalo, luego con dos, cuatro, ocho, etc, hasta donde se desee. 

Posteriormente, pasamos al segundo nivel de aproximación, que es donde se usa la fórmula anterior, tomando las parejas contiguas de aproximación del nivel anterior, y que corresponden cuando   .

Después pasamos al nivel tres de aproximación, pero aquí cambia la fórmula de Romberg, y así sucesivamente hasta el último nivel, que se alcanza cuando solo contamos con una pareja del nivel anterior.  

Desde luego, el número de niveles de aproximación que se alcanzan, depende de las aproximaciones que se hicieron en el nivel 1. En general, si en el primer nivel, iniciamos con  n aproximaciones, entonces alcanzaremos a llegar hasta el nivel de aproximación n. 

Hacemos un diagrama para explicar un poco más lo anterior. 

y con estos niveles podemos concluir una ecuación para determinar cada espacio.

_{Para este método se deberá realizar con seis decimales por lo menos.} 

_Ejemplo:

Calcular la integral de  entre x = 1 y x = 2; que estoes igual a Ln 2 = 0.693147.

Se calculará el primer nivel en donde de realizará la regla del trapecio dependiendo de las particiones que indique cada sección. Se hará con 5 secciones:

A1:

 

A2:                 

A2 =  0.416666 + 0.291666 = 0.708332

A3:                 

A3 = 0.225 + 0.183333 + 0.154761 + 0.133928 = 0.697022

A4:                 

A4 = 0.118055 + 0.105555 + 0.095454 + 0.087121 + 0.080128 + 0.074175 + 0.069047 + 0.064583 = 0.694118

A5:

A5: 0.060592 + 0.057127 + 0.054038 + 0.051265 + 0.048764 + 0.046495 + 0.044428 + 0.042537 + 0.040801 + 0.039201 + 0.037721 + 0.036350 + 0.035074 + 0.033885 + 0.032774 + 0.031734 = 0.692786

Ya teniendo las A procedemos a ocupar el método de Romberg.

y la formula de Romber seria para este caso:

Para la tercera columna será:

La formula de Romberg quedará así:

Para la Cuarta columna será:

La formula de Romberg quedará así:

La quinta columna quedara así:

Y el resultado es:

La integral total es: 0.692269