Metodo de Lagrange

Sea:
ƒ: ℜn → ℜ diferenciable
gi: ℜn → ℜ i = 1…m diferenciables
b1…bm ∈ ℜ

Un problema de optimización con restricciones de igualdad se formula:

Ejemplo y representación gráfica

  (n=2, m=1)

Nota:

1. Las restricciones de tipo igualdad no establecen fronteras al conjunto de lassoluciones factibles del programa, sino que reducen las dimensiones del espacio donde el programa está definido.
2. Los óptimos que obtendremos serán “débiles” en el sentido de que una pequeña variación en las restricciones hará que dejen de ser óptimos. Por este motivo los llamaremos óptimos condicionados o restringidos.

2. Resolución de un problema de optimización con restricciones de igualdad

Métodos:

1. Resolución gráfica, por curvas de nivel
2. Eliminación o sustitución de variables
3. Método de Lagrange

i. Resolución gráfica por curvas de nivel

Siempre que sea posible será muy cómodo dibujar las curvas de nivel.

Se trata de determinar el punto de la restricción por el que pasa la curva de nivel más baja.

ii. Eliminación o sustitución de variables

Ejemplo:

    es equivalente a 

La función objetivo es ahora una función con una variable menos:

Por tanto, 

Entonces, es mínimo restringido o condicionado.

iii. Método de Lagrange

El método consiste en convertir el problema con restricciones de igualdad en uno de óptimos libres, gracias a la incorporación de las restricciones a la función objetivo. Distinguimos dos casos:

1. Caso de una única restricción
2. Caso de más de una restricción

En ambos casos, se construye una función, llamada función de Lagrange, y se determina qué puntos cumplen la condición necesaria para ser óptimos del problema y, posteriormente, se estudia si son máximos o mínimos analizando el cumplimiento de la condición suficiente.

Ejemplos de aplicación:

• Ver ejemplo 1
• Ver ejemplo 2

Ver interpretación de los multiplicadores de Lagrange

iii.1 Caso de una única restricción

se sustituye por 

siendo  la denominada función de Lagrange que tiene una variable más, , que recibe el nombre de multiplicador de Lagrange.

Observamos que cuando se satisface la restricciónse cumple que 

• Ver ejemplo 1
• Ver ejemplo 2

Condición necesaria (Caso m = 1)

• Ver ejemplo 1
• Ver ejemplo 2

Condición suficiente

Sea un punto que cumple la condición necesaria; es decir:

  tq  

entonces, si denotamos como Hx L la hessiana de la función de Lagrange en respecto de las variables iniciales (no respecto λ) tenemos:

 definida positiva es mínimo condicionado o restringido

 definida negativa es máximo condicionado o restringido

en otro caso:

    tal que 

   > 0   es mínimo condicionado

   < 0   es máximo condicionado

• Ver ejemplo 1
• Ver ejemplo 2

iii.2 Caso de más de una restricción:

La función L se llama función de Lagrange y los , multiplicadores de Lagrange.

Observamos que se añade un multiplicador por cada restricción y que cuando se satisfacen todas se cumple que 

Ejemplo de aplicación 1

Condición necesaria:

(*)= 

(*)Observemos que la condición  equivale a pedir que se satisfaga la restricción.

Resolvemos:

Obtenemos:

Condición suficiente:

definida positiva

Resultado:

es un mínimo condicionado o restringido

Ejemplo de aplicación 2

Condición necesaria:

Por lo tanto resolvemos:

 

Y obtenemos:

x = ½, y=½ λ=½

Condición suficiente: indefinida

Veamos qué sucede exactamente sobre la restricción.

   

Por tanto, como se comprueba en el gráfico, para mantenernos encima de la restricción es necesario  

Entonces, 

Resultado:

máximo condicionado o restringido

Interpretación de los multiplicadores de Lagrange

Dado un problema con restricciones de igualdad:

Si se modifica un poco , cambiará también el punto óptimo y, en consecuencia, el valor óptimo.

Así se entiende que el valor óptimo de un problema es función de cada . Pues bien, la derivada de esta función respecto de  es justamente  . De aquí se deduce la siguiente fórmula:

que también se puede escribir como