Analisis Numerico: Metodo de LU

DESCOMPOSICIÓN LU

Su nombre se deriva de las palabras inglesas "Lower" y "Upper", que enespañol se traducen como "Inferior" y "Superior". Estudiando el proceso que se sigue en la descomposición LU es posible comprender el por qué de este nombre, analizando cómo una matriz original se descompone en dos matrices triangulares, una superior y otra inferior.

La descomposición LU involucra solo operaciones sobre los coeficientes de la matriz [A], proporcionando un medio eficiente para calcular la matriz inversa o resolver sistemas de álgebra lineal.

Primeramente se debe obtener la matriz [L] y la matriz [U].

[L] es una matriz diagonal inferior con números 1 sobre la diagonal. [U] es una matriz diagonal superior en la que sobre la diagonal no necesariamente tiene que haber números 1.

El primer paso es descomponer o transformar [A] en [L] y [U], es decir obtener la matriz triangular inferior [L] y la matriz triangular superior [U].

PASOS PARA ENCONTRAR LA MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR (MATRIZ [U])

Hacer cero todos los valores abajo del pivote sin convertir este en 1.

Para lograr lo anterior se requiere obtener un factor el cual es necesario para convertir a cero los valores abajo del pivote.

Dicho factor es igual al número que se desea convertir en cero entre el número pivote.

Este factor multiplicado por -1 se multiplica luego por el pivote y a ese resultado se le suma el valor que se encuentra en la posición a cambiar (el valor en la posición que se convertirá en cero). Esto es:

- factor * pivote + posición a cambiar

PASOS PARA ENCONTRAR LA MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR (MATRIZ [L])

Para encontrar la matriz triangular inferior se busca hacer ceros los valores de arriba de cada pivote, así como también convertir en 1 cada pivote. Se utiliza el mismo concepto de "factor" explicado anteriormente y se ubican todos los "factores" debajo de la diagonal según corresponda en cada uno.

Esquemáticamente se busca lo siguiente:

Originalmente se tenía:

Debido a que [A] = [L][U], al encontrar [L] y [U] a partir de [A] no se altera en nada la ecuación y se tiene lo siguiente:

Por lo tanto, si Ax = b, entonces LUx = b, de manera que Ax = LUx = b.

PASOS PARA RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES POR ELMÉTODO DE DESCOMPOSICIÓN LU

Obtener la matriz triangular inferior L y la matriz triangular superior U.

Resolver Ly = b (para encontrar y).

El resultado del paso anterior se guarda en una matriz nueva de nombre "y".

Realizar Ux = y (para encontrar x).

El resultado del paso anterior se almacena en una matriz nueva llamada "x", la cual brinda los valores correspondientes a las incógnitas de la ecuación.

EJEMPLO 1 DE DESCOMPOSICIÓN LU

PROBLEMA: Encontrar los valores de x1, x2 y x3 para el siguiente sistema de ecuaciones:

NOTA: Recuérdese que si la matriz es 2x2 se hará 1 iteración; si es 3x3, 2 iteraciones; si es 4x4, 3 iteraciones; y así sucesivamente.

SOLUCIÓN:

	4	- 2	- 1		9
[A] =	5	1	- 1	[B] =	7
	1	2	- 4		12

ITERACIÓN 1

factor 1 = (a21 / a11) = 5 / 4 = 1.25

factor 2 = (a31 / a11) = 1 / 4 = 0.25

Encontrando [U]

fila 2 = - (factor 1) * (fila 1) + (fila 2)

fila 3 = - (factor 2) * (fila 1) + (fila 3)

a11 = a11

a12 = a12

a13 = a13

a21 = - (1.25) * (4) + (5) = 0

a22 = - (1.25) * (- 2) + (1) = 3.5

a23 = - (1.25) + (- 1) + (- 1) = 0.25

a31 = - (0.25) * (4) + (1) = 0

a32 = - (0.25) * (- 2) + (2) = 2.5

a33 = - (0.25) * (- 1) + (- 1) = - 0.75

4	- 2	- 1
[U] =	0	3.5	0.25
	0	2.5	- 0.75

Encontrando [L]

	1	0	0
[L] =	1.25	0	0
	0.25	0	0

ITERACIÓN 2

factor 3 = (u32 / u22) = 2.5 / 3.5 = 0.7142857143

Encontrando [U]

fila 3 = - (factor 3) * (fila 2) + (fila 3)

a31 = - (2.5 / 3.5) * (0) + (0) = 0

a32 = - (2.5 / 3.5) * (3.5) + (2.5) = 0

a33 = - (2.5 / 3.5) * (0.25) + (- 0.75) = - 0.9285714286

	4	- 2	- 1
[U] =	0	3.5	0.25
	0	0	- 0.9285714286

Encontrando [L]

1	0	0
[L] =	1.25	1	0
	0.25	0.7142857143	1

Ahora ya se tiene la matriz [U] y la matriz [L]. El siguiente paso es resolver: Ly = b para encontrar la matriz y. En pocas palabras es como que se pidiera resolver el siguiente sistema de ecuaciones, encontrando los valores de y1, y2 y y3:

Al resolver el sistema anterior, se obtienen los siguientes valores para y1, y2 y y3:

El último paso es resolver Ux = y para encontrar la matriz x. En otras palabras es como que se pidiera resolver el siguiente sistema de ecuaciones, encontrando los valores de x1, x2 y x3: