Metodo de Euler

METODO DE 4 PASOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN CON VALORES INICIALES MEDIANTE EL METODO DE EULER

FORMULAS USADAS

yn+1=yn+hf(xn,yn)$$y_{n+1}=y_n+hf(x_n,y_n)$$

(1)

xn+1=xn+h$$x_{n+1}=x_n+h$$

(2)

Donde:

n=0,1,2,3,…$n=0,1,2,3,\dots$

h=$h=$ tamaño del incremento en latexx$latexx$

f(xn,yn)=$f(x_n,y_n)=$ segundo miembro de la ED de primer orden cuando tiene la forma:

dydx=f(x,y)$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$

PROCEDIMIENTO:

i. Escribimos la ED en la forma: dydx=f(x,y)$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$, para extraer su segundo miembro

ii. Definimos x0$x_0$, y0$y_0$ y h$h$ de acuerdo a los datos del problema, ejemplo:

para el PVI: y′=0.12y√+0.4x2$y^{\mathrm{\prime }}=0.12\sqrt{y}+0.4x^2$, y(2)=4$y(2)=4$, y(2.5)$y(2.5)$,
con h=0.5$h=0.5$, las variables buscadas son: x0=2$x_0=2$, y0=4$y_0=4$ y h=0.5$h=0.5$

iii. Plateamos la ecuación de Euler utilizando los datos iniciales, como sigue:
y0+1=y0+hf(x0,y0)$y_{0+1}=y_0+hf(x_0,y_0)$

Y una vez obtenido este primer resultado repetimos el proceso iterativamente utilizando los nuevos datos:
y1+1=y1+hf(x1,y1)$y_{1+1}=y_1+hf(x_1,y_1)$

iv. Desarrollamos hasta el valor buscado en x$x$, en este caso: x=2.5$x=2.5$,
como se ve el los datos del problema del inciso anterior.

EJEMPLOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN CON VALORES INICIALES MEDIANTE EL MÉTODO DE EULER

En los problemas 1 y 2 siguientes use el método de euler para obtener una aproximación a cuatro decimales del valor indicado, ejecute a mano la ecuación de recursión yn+1=yn+hf(xn,yn)$y_{n+1}=y_n+hf(x_n,y_n)$, usando primero h=0.1$h=0.1$ y después usando h=0.5$h=0.5$.

Ejercicios 2.6. Libro Dennis G. Zill (Problema 1)

y′=2x–3y+1$y^{\mathrm{\prime }}=2x–3y+1$, y(1)=5$y(1)=5$, y(1.2)$y(1.2)$

Primer caso h=0.1$h=0.1$

Pasos:

i. Escribimos la ED en la forma: dydx=f(x,y)$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$, para extraer su segundo miembro
dydx=2x–3y+1$\frac{dy}{dx}=2x–3y+1$
ii. Definimos x0$x_0$, y0$y_0$ y h$h$ de acuerdo a los datos del problema

x0=1$x_0=1$,

y0=5,$y_0=5,$

Para este primer caso: h=0.1$h=0.1$

iii. Planteamos la ecuación de Euler utilizando los datos iniciales:

y0+1y1y1===y0+hf(x0,y0)y0+h∗(2x0–3y0+1)5+(0.1)(2(1)–3(5)+1)$$\begin{array}{rcl}{y}_{0+1}& =& y_0+hf(x_0,y_0)\\ y_1& =& y_0+h\ast (2x_0–3y_0+1)\\ y_1& =& 5+(0.1)(2(1)–3(5)+1)\end{array}$$

iv. Desarrollamos hasta el valor buscado en x$x$, en este caso: x=1.2$x=1.2$. (Ver datos del problema)

y1y1=y(1.1)====5+(0.1)(2–15+1)5+(0.1)(−12)5–1.23.8000$$\begin{array}{rcl}{y}_1& =& 5+(0.1)(2–15+1)\\ & =& 5+(0.1)(-12)\\ & =& 5–1.2\\ y_1=y(1.1)& =& 3.8000\end{array}$$

y1+1y2y2y2y2=y(1.2)=======y1+hf(x1,y1)y1+h∗(2x1–3y1+1)3.8+(0.1)(2(1.1)–3(3.8)+1)3.8+(0.1)(2.2–11.4+1)3.8+(0.1)(−8.2)3.8–0.822.9800$$\begin{array}{rcl}{y}_{1+1}& =& y_1+hf(x_1,y_1)\\ y_2& =& y_1+h\ast (2x_1–3y_1+1)\\ y_2& =& 3.8+(0.1)(2(1.1)–3(3.8)+1)\\ y_2& =& 3.8+(0.1)(2.2–11.4+1)\\ & =& 3.8+(0.1)(-8.2)\\ & =& 3.8–0.82\\ y_2=y(1.2)& =& 2.9800\end{array}$$

Nota . El hecho de que la x$x$ varíe x0=1$x_0=1$, x1=1.1$x_1=1.1$, x2=1.2$x_2=1.2$, etc, tras cada iteración es por que la x$x$ aumenta según la fórmula: xn+1=xn+h$x_{n+1}=x_n+h$; la explicación mas precisa matemáticamente se puede ver en la presentación: De donde sale el Método de Euler.